В угол вписаны две окружности, которые касаются сторон угла и друг друга. Отношение площадей соответствующих кругов равно 97 + 56√3. Найдите величину угла.

Пусть у меньшей окружности радиус R и расстояние от вершины угла до центра D; а у большой k*R и k*D; - ясно, что эти расстояния пропорциональны.

k нужно найти из отношения площадей.

Условие, что окружности касаются, означает, что

k*D - D = R + k*R; то есть R/D = (k * - 1) / (k + 1) ;

легко видеть, что R/D это синус половины угла, который надо найти, так как центры окружности лежат на биссектрисе.

Что касается величины к, то её нетрудно подобрать, k^2 = 97 + 56√3;

Легко видеть, что k^2 = 49 + 2*7*4 √3 + 48 = (7 + 4√3) ^2;

то есть k = 7 + 4 √3; технически задача уже решена.

sin (α/2) = (7 + 4√3 - 1) / (7 + 4 √3 + 1) = √3/2; все преобразования сделайте сами. То есть α/2 = 60 °; α = 120 °;