Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N. и касающейся луча АВ, если cos (BAC) = √15/4

Question

Геометрия

Мишата

31 декабря, 23:50

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N. и касающейся луча АВ, если cos (BAC) = √15/4

+4

Ответы (1)

Знаете ответ?

Федяха · Answer 1

Обозначим:

- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,

- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е.

Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.

Отрезок АР = 8 + ((30-8) / 2) = 8 + 11 = 19.

Решение основано на теореме касательной и секущей.

Касательная АК=√ (8*30) = √240 = 15.49193.

Отрезок касательной КЕ (до оси окружности) равен АЕ-АК = 19 / cosA - 15.49193 = 19 / 0.968246 - 15.49193 = 19.62312 - 15.4919 = 4.131182.

Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А).

Тангенс угла КОЕ равен:

tg KOE = tg (A) = sin (A) / cos (A) = √ (1-cos² (A)) / cos (A) =

= √ (1 - (15/16)) / (√15/4) = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 = 0.258199.

Тогда R = 4.131182 / 0.258199 = 16.