В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 делят стороны BC, AC и AB соответственно в отношениях BA1:A1C=3:7, AB1:B1C=1:3, AC1:C1B=1. Найдите отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1.

Question

Геометрия

Мартиниана

23 августа, 04:58

В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 делят стороны BC, AC и AB соответственно в отношениях BA1:A1C=3:7, AB1:B1C=1:3, AC1:C1B=1. Найдите отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1.

+1

Ответы (1)

Знаете ответ?

Галек · Answer 1

АС1/С1 В=1/1, ВА1/А1 С=3/7, АВ1/В1 С=1/3, S A1B1C1=S ABC - S AC1B1 - S C1BA1 - S A1CB1, обе части уравнения делим на S ABC

S A1B1C1 / S ABC = 1 - (S AC1B1/S ABC) - (S C1BA1 / S ABC) - (S A1CB1/S ABC)

S ABC=1/2*AB*AC*sinA, S AB1C1=1/2*AC1*AB1*sinA, AB=AC1+C1B=1+1=2, AC=AB1+B1C=1+3=4, S AB1C1/S ABC = (AC1*AB1) / (AB*AC) = (1*1) / (2*4) = 1/8,

S ABC=1/2*AB*BC*sinB, S C1BA1=1/2*C1B*BA1*sinB, BC=BA1+A1C=3+7=10,

S C1BA1/S ABC = (C1B*BA1) / (AB*BC) = (1*3) / (2*10) = 3/20,

S ABC=1/2*AC*BC*sinC, S A1CB1=1/2*A1C*B1C*sinC, S A1CB/S ABC = (A1C*B1C) / (AC*BC) = (7*3) / (4*10) = 21/40,

S A1B1C1/S ABC=1-1/8-3/20-21/40=8/40=1/5, или S ABC/S A1B1C1=5/1