Гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна 10 см. проекция одного из катетов на гипотенузу равна 3, 6 см. найти радиус окружности вписанной в этот треугольник

Радиус вписанной окружности r = Sтр/р, где Sтр-площадь треугольника,

р - полупериметр треугольника,

пусть АД=3,6 - проекция катета АС на гипотенузу АВ треугольника АВС,
находим катет СД из прямоугольных треугольников СДА иСДВ:

СД²=АС²-АД²=АС²-3,6²=АС²-12,96

СД²=ВС²-ДВ²=ВС²-6,4²=ВС²-40,96

АС²-12,96=ВС²-40,96, ВС²=АС²-12,96+40,96=АС²+28

из данного треугольника АВС находим АВ²=100=АС²+ВС²=АС²+АС²+28

2 АС²=100-28=72, АС²=36, АС=6, ВС²=АВ²-АС²=100-36=64, ВС=8

Sтр = (ВС*АС) / 2 = (8*6) / 2=24, р = (АВ+ВС+АС) / 2 = (10+8+6) / 2=12

r = Sтр/р=24/12=2-искомый радиус

Катеты есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. АВС прямоугольный треугольник; АВ (а), АС (b) катеты; ВС (с) гипотенуза; АК - высота; ВК проекция катета АВ на гипотенузу: ВК=10-3,6=6,4 см; СК - проекция катета АС на гипотенузу: СК=3,6 см; а^2=ВС*ВК; а=√6,4*10=8 см; b^2=ВС*СК; b=√10*3,6=6 см; r = (a+b-c) / 2; r = (8+6-10) / 2=2 см; r можно вычислить по другой формуле. r=S/p радиус вписанной окружности в произвольный треугольник; (эту формулу нужно знать обязательно) ; S для прямоугольного треугольника S=a*b/2 половина произведения катетов; р полуперимтр; р=Р/2 (Р периметр) ; P=a+b+c (a, b катеты; с гипотенуза) ; S=ab/2 : P/2=ab/2 * 2/P=ab / (a+b+c) ; S=8*6 / (8+6+10) = 48/24=2; ответ: 2