Биссектрисы АМ и ВК равностороннего треугольника АВС переекаются в точке О. Докажите, что АО: ОМ = 2 : 1.

Надо начертить окружность внутри треугольника, где ОМ=ОК=радиусу окружности. начерченная окружность пересекает АО в точке N, где ОN=OM=радиусу окружности.

Доказываем, что треугольник NOK равносторонний. Биссектрисы равностороннего треугольника ABC делят углы пополам, т. е. по 30 градусов (углы BAO=OAK=30) и у оснований образуют 2 прямых угла (углы ВКА=ВКС=90 градусов, ВКС=ОКА=90). Угол АОК в прямоугольном треугольнике равен 60 градусам (180-ОАК-ОКА=60). Отсюда имеем равнобедренный треугольник NOK имеет равные стороны ON=OK=радиус окружности и угол между этими сторонами, равный 60 градусам. Т. к. углы у основания равнобедренного треугольника равны, то угол ONK=OKN = (180-60) / 2=60. Это означает, что треугольник NOK равносторонний, т. е. NO=OK=NK=радиусу окружности.

Образовавшийся треугольник ANK равнобедренный. Угол АКВ=90, угол NKO=60, значит угол NKA=90-60=30. Угол NAK=1/2 BAK=60/2=30. Значит, углы NAK=NKA=30 градусам, т. е. у основания АК равны, и треугольник ANK равнобедренный, где AN=NK=радиусу окружности.

Из всего следует, что АО=AN+NO=R+R=2R (2 радиуса окружности), а ОМ = радиусу окружности. Значит, АО: ОМ=2:1.