Середины сторон правильного пятиугольника последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный пятиугольник-правильный.

Рассмотрим два угла првильного многоугольника и треугольники построеные на них за условием задачи:

Треугольники М1 А2 М2 и М2 А3 М3, они равны за первым признаком:

1) А2=А3 (правильный пятиугольник) ;

2) М1 А2=М2 А3 (половина стороны) ;

3) А2 М2=А3 М3 (вторая половина стороны).

Найдем угол М1 М2 М3 - он равный М2 А3 М3, поскольку А3 М2 М3 = (180-М2 А3 М3) / 2, а

М1 М2 М3=180-2*А3 М2 М3=М2 А3 М3 - это угол пятиугольника.

М1 М2=М2 М3 - сторона пятиугольника.

Теперь применим наши суждения ко всем углам пятиугольника и увидим, что мы получили некоторую пятиугольную фигуру, у которой пять равных сторон и пять равных углов, тоисть имеем правильный пятиугольник. Думаю так ...