Из проводника сопротивлением 10 м сделано кольцо как следует подключить к этому кольцу провода проводящие напряжения чтобы сопротивление кольца равнялось 0,16 Ом?

Не десять метров, а один ом. Не 10 м а 1 Ом.

Если разделить провод на два участка R1 и R2 так чтобы R1+R2=1 Ом и R1*R2 / (R1+R2) = 0.16 Ом, можно найти эти R1 и R2.

R1=0.16/R2, отсюда подставив выражение в первое уравнение и умножив на R2 получим R2^2-R2+0.16=0 самое обыкновенное квадратное уравнение, квадратный трехчлен имени Василия Ивановича Чапаева, который он не то что рассказать - даже представить себе не мог.

У этого уравнения есть корни, которые умеют извлекать все. Я дам значения корней без промежуточных выкладок: Получается два корня - или 0.8 Ом или 0.2 Ом. Ну понятно, что это одно и то же - два куска провода вместе равны 1 Ом, и если один будет 0.2 то второй - 0.8 или наоборот. Если провод имеет длину метр, то провод в кольцо и от места стыка отложить 20 см в любую сторону чтобы туда присоединить второй зажим.

Красивая задачка. Экономичная. По условию.