Берём три листа бумаги. Некоторые из них разрываем на три части. Из полученных листков некоторые снова разрывают на три части и так далее. После подсчета оказалось 34 листка. Правильно ли был произведен подсчет?

Подсчет произведен неправильно. Разрывая лист бумаги на три части, общее количество листков увеличивается на 2. Так как у нас первоначальное количество листов бумаги было три, значит, всегда будет получаться нечетное количество листков, а число 34 является четным.