Доказать, что при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство:

(а + 4) * (b + 1) * (c + 4) ≥32√abc

Рассмотрим пару чисел a и 4. Согласно неравенству Коши выполняется неравенство (a + 4) / 2 ≥√4a = 2√a. Соответственно для пары b и 1 получаем (b + 1) / 2 ≥√b, а для пары c и 4 имеем (c + 4) ≥ √4c = 2√c. Далее перемножим эти три неравенства: ((a + 4) / 2) * ((b + 1) / 2) * ((c + 4) / 2) ≥ 2√a*√b*2√c = > (a + 4) (b + 1) (c + 4) / 8 ≥ 4√abc = > (a + 4) (b + 1) (c + 4) ≥ 32√abc. Неравенство доказано.