Для каких целых значений а, функция y=-x^2 + 2x + a принимает ровно 4 положительных целых значения

Квадратичная функция. График - парабола. Ветви направлены вниз, т. к. коэффициент квадратного члена - отрицательное число.

Найдем вершину:

Xo = - b / (2a) = - 2 / (-2) = 1

Yo = f (Xo) = - 1 + 2 + a = a + 1

В данном случае, вершина является максимумом функции. Чтобы функция принимала ровно четыре положительных значения при целых a максимальное значение функции должно быть 4.

Приравниваем максимум к 4

a + 1 = 4

Откуда a = 3