Доказать неравенство:

(1+1/x) (1+1/y) >=9,

если x+y=1, x>0, y>0

(1 + 1/x) (1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1 / (xy) = 1 + (x + y + 1) / (xy) = 1 + 2 / (xy)

Чтобы найти минимально возможное значение 1 + 2 / (xy), нужно оценить xy сверху. Выражаем y через x и получаем квадратных трёхчлен:

xy = x (1 - x) = - (x^2 - x + 1/4) + 1/4 = 1/4 - (x - 1/2) ^2,

откуда ясно, что xy < = 1/4.

Тогда 1 + 2 / (xy) > = 1 + 2 / (1/4) = 9