Упростите выражение

(a₀-a₂) (a₀-a₃) ... (a₀-aₓ) / (a₁-a₂) (a₁-a₃) ... (a₁-aₓ) + (a₀-a₁) (a₀-a₃) ... (a₀-aₓ) / (a₂-a₁) (a₂-a₃) ... (a₂-aₓ) + ... + (a₀-a₁) (a₀-a₂) ... (a₀-a ₍ₓ₋₁₎) / (aₓ-a₁) (aₓ-a₂) ... (aₓ-a ₍ₓ₋₁)) - 1 =

Посмотрим на это выражение как на многочлен от переменной а₀, т. е. его можно записать как f (a₀), где f - многочлен степени х-1, т. к. в числителе каждого слагаемого x-1 множителей содержащих а₀, а в знаменателях а₀ отсутствует. Тогда f (a₁) = 0, т. к. первое слагаемое будет равно (a₁-a₂) (a₁-a₃) ... (a₁-aₓ) / (a₁-a₂) (a₁-a₃) ... (a₁-aₓ) = 1, а все остальные дроби равны 0, т. к. у них в числителях будет присутствовать а₁-а₁=0 и в конце еще из всего этого вычитаем 1. Аналогично, f (a₂) = 0 (второе слагаемое равно 1, остальные дроби равны 0 и в конце - 1), f (a₃) = 0, ..., f (аₓ) = 0, т. е. многочлен f имеет х различных корней (различны они, т. к. знаменатели не равны 0). Значит многочлен f тождественно равен 0, т. к. иначе у него могло быть не более x-1 корней, ведь его степень равна x-1. Итак, ответ: 0.

P. S. Если убрать последнюю - 1, то останется конструкция, которая в математике называется интерполяционный многочлен Лагранжа, т. е. многочлен, график которого проходит через заданные точки плоскости. Тут это многочлен от а₀ степени х-1, проходящий через х точек (a₁,1), ..., (аₓ,1). Такой многочлен тождественно равен 1, т. е. вся эта сложная сумма дробей - это запись константы 1 в виде многочлена степени x-1 от переменной a₀. Ну и в конце вычитаем 1 и получаем 0.