На доске было написано натуральное число N. Маша подсчитала произведение его цифр и получила число M. Потом Маша подсчитала произведение цифр числа M и получила 1001. Докажите, что Глафира ошиблась.

Петя записал на доске число 2018. Затем он сложил цифры записанного на доске числа и умножил полученную сумму на 9. Результат записал на доске вместо предыдущего числа, записанного на доске. Затем Петя снова и снова повторял эту процедуру.

Артём написал на доске число 20162016. Из него он вычел сумму цифр числа 20162016. Полученной разностью Артём заменил число, записанное на доске. Описанные действия он продолжал до тех пор, пока на доске не осталась одна цифра.

На доске написано число 0. За один ход можно увеличить число на доске на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, но так, чтобы результат не делился на 10. Какое наибольшее число может получиться на доске через 82 хода?

Решить задачу: На доске написано число 2000. Саша и Федя по очереди делят число, написанное на доске на любое из следующих чисел: 2, 2, 10. Проигрывает тот из них, после хода которого на доске появится нецелое число. Саша ходит первым.

На доске написаны числа 18 и 19. К уже написанным на доске числам разрешается дописать число, равное сумме любых двух из уже написанных. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться того, чтобы на доске оказалось написано число1994?