Всем привет. Приведите к кононическому виду уравнение кривой определить её тип и сделать чертёж

4x^2+24xy+11y^2=20

4x^2 + 24xy + 11y^2 = 20

Задача несложная, но много писанины.

Замена, означающая поворот системы координат на угол а.

Цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты.

x = u*cos a + v*sin a

y = u*sin a - v*cos a

4 (u*cos a + v*sin a) ^2 + 24 (u*cos a + v*sin a) (u*sin a - v*cos a) +

+ 11 (u*sin a - v*cos a) ^2 = 20

4 (u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) +

+ 24 (u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) +

+ 11 (u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20

4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a +

+ 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a +

+ 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20

u^2 * (4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +

+ v^2 * (4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +

+ uv * (24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20

Находим, при каком угле а скобка при uv равна 0

24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0

Делим все на 2cos^2 a

12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0

Квадратное уравнение относительно tg a

D = 7^2 - 4*12 (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2

tg a = (7 - 25) / 24 < 0 - не подходит

tg a = (7 + 25) / 24 = 32/24 = 4/3 - подходит.

Нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5

Подставляем в уравнение

u^2 * (4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +

+ v^2 * (4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +

+ uv * (24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20

Получаем

u^2 * (4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) +

+ v^2 * (4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20

Упрощаем

u^2 * (36/25+288/25+176/25) + v^2 * (64/25-288/25+99/25) = 20

u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20

20u^2 - 5v^2 = 20

u^2 - v^2/4 = 1

Это гипербола с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2

Чертеж сами делайте, я в Пайнте не могу.