Докажите что при любом целом значении b выражение b^3 + 47b делится на 6

Разложим число ab (a² - b²) на множители: ab (a² - b²) = ab (a - b) (a + b).

Нам нужно доказать, что это число делится на 6 делится на 2 и на 3.

Докажем, что число ab (a - b) (a + b) делится на 2. Если хотя бы одно из чисел а и b четно, то все нормально. Если a и b нечетные, то разность (a - b) делится на 2 и тоже вче нормально.

Докажем, что число ab (a - b) (a + b) делится на 3. Если хотя бы одно из чисел a и b делится на 3, то все нормально. Если числа a и b не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то разность (a - b) делится на 3. Если числа a и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то сумма (а + b) делится на 3.

Значит, число ab (a² - b²) = ab (a - b) (a + b) делится на 2 и на 3, значит и на 6.