Задать вопрос
15 ноября, 06:11

Сколько существует натуральных nn, меньших 1013, таких что уравнение a2+b2=7n имеет решение в целых числах?

+2
Ответы (1)
  1. 15 ноября, 09:14
    0
    Так как правая часть делится на 7, то и левая должна делиться на 7.

    Для начала посмотрим, как остаток от деления на 7 квадрата числа зависит от остатка самого числа:

    0 - > 0

    1 - > 1

    2 - > 4

    3 - > 9 - > 2

    4 - > 16 - > 2

    5 - > 25 - > 4

    6 - > 36 - > 1

    Так как нельзя выбрать два числа из получившихся так, чтобы их сумма делилась на 7, за исключением варианта 0 + 0, делаем вывод, что оба числа a и b должны делиться на 7.

    Т. к. a и b делятся на 7, то a^2 + b^2 делится на 49, а следовательно и 7n делится на 49.

    Разделим обе части на 49, получим (a/7) ^2 + (b/7) ^2 = n/7

    n/7 < = 144 (так как 144*7 = 1008 1013)

    Дальше не вижу другого варианта (возможно, кто-нибудь предложит другой?), кроме как перебрать возможные значения n/7 < = 144, полученные суммой квадратов.

    Важно избегать повторов. Например, 9 + 16 = 0 + 25

    0 + x^2:

    0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 : 13

    1 + x^2:

    2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122 : 11

    4 + x^2:

    8, 13, 22, 29, 40, 53, 68, 85, 104, 125 : 9

    9 + x^2:

    18, 34, 45, 58, 73, 90, 109, 130 : 8

    16 + x^2:

    32, 41, 52, 80, 97, 116, 137 : 7

    25 + x^2:

    50, 61, 74, 89, 125 : 5

    36 + x^2:

    72, 117, 136 : 3

    49 + x^2:

    98, 113 : 2

    64 + x^2:

    128 : 1

    1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9 + 11 + 13 = 59

    Получается 59. Если, конечно, нет никаких ошибок.
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Сколько существует натуральных nn, меньших 1013, таких что уравнение a2+b2=7n имеет решение в целых числах? ...» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы