1) Представить число 10 в виде суммы 2 ух неотрицательных чисел слагаемых так, чтобы сумма квадрат одного из них на удвоенное второе было наибольшим. 2) Из всех прямоугольных треугольников с площадью 32 см^2, найдите треугольник с наименьшей суммы катетов.

1) Пусть х - первое слагаемое, тогда второе равно (10-х).

Нам нужно найти такое х, при котором функция х^2 + 2 * (10-x) приняла бы наибольшее значение на отрезке [1; 9].

При том, что 0 не считается неотрицательным числом!

Ее производная, равная 2 х-2, имеет один корень х0 = 1. Легко проверить, что это точка минимума (функция параболическая, ветви направлены вверх). Тогда наибольшего значения она достигент при х = 9.

Таким образом, искомыми слагаемыми можно считать 9 и 1. Наибольшее значение равно 9^2 + 2*1 = 84.

2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если один катет обозначить за х, то второй будет равен 64/х, а их сумма, соответственно, (х + 64/х).

Производная этой функции, равная 1 - 64/x^2, обращается в ноль в двух точках:

х = - 8 и х = 8.

Так как нам необходимо наименьшее значение, выбираем точку минимума х = 8 (да и катет не может быть отрицательным).

Таким образом, искомый треугольник будет иметь катеты, каждый из которых равен 8.