элементы комбинаторики:?

это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Размещение с повторением. Из множества, содержащего m элементов, нужно выбрать k элементов, причем выбранный элемент, после того, как его взяли, вновь возвращается в исходное множество (то есть элементы в выбранном множестве могут повторяться). Пользуясь правилом произведения, получим, что каждый из k элементов может быть выбран m способами. Таким образом, общее число комбинаций равно.

Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Решение. Первой цифрой в числе может быть любая из четырех имеющихся. То же самое можно сказать и о последующих цифрах числа, поэтому общее число комбинаций:

Размещение без повторений. Из множества, содержащего m различных элементов, надо выбрать упорядоченное подмножество из k элементов (k £ m), то есть такое подмножество, в котором элементы располагаются в определенном порядке, и изменение порядка элементов изменяет подмножество. Кроме этого, элементы в выбранном подмножестве не повторяются. Требуется выяснить, сколько таких комбинаций существует. По правилу произведения получаем, что первый элемент можно выбрать m способами, второй элемент - (m - 1) способом, и так далее, а элемент с номером k можно выбрать (m - k + 1) способами. Следовательно, число упорядоченных k - элементных подмножеств, взятых из множества, содержащего m элементов равно m (m - 1) (m - 2) ... (m - k + 1). Такие подмножества называются размещениями из m элементов по k элементов, а их общее число можно выразить формулой.

Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии. Что цифры в числе не повторяются?

Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4:

Перестановки. Пусть множество содержит m различных элементов. Рассмотрим все возможные варианты перестановок элементов этого множества. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Такие упорядоченные множества называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно:

Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5. 7, если цифры в числе не повторяются?

Решение. Количество чисел равно числу перестановок из четырех элементов:

Сочетания. Пусть из множества, содержащего m различных элементов, требуется выбрать подмножество, содержащее k различных элементов (k £ m). Получаемые при этом подмножества не упорядочены. Такие неупорядоченные подмножества называются сочетаниями. Число сочетаний из m элементов по k элементов вычисляется по формуле:

Пример. В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента:.