Доказать, что, если

1 способ.

Рассмотрим векторы a = (x, y, z) и b = (1,1,1). Тогда, в силу неравенства |a·b|≤|a|·|b|, получаем |x+y+z|≤√3·√ (x²+y²+z²), т. е. √3≤√ (x²+y²+z²), откуда 3≤x²+y²+z².

2 способ.

9 = (x+y+z) ² = x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz ≤ x²+y²+z² + (x²+y²) + (y²+z²) + (x²+z²) =

= 3 (x²+y²+z²), т. е. x²+y²+z²≥3. Здесь воспользовались очевидным неравенством 2 ху≤x²+y².