1) |x-3| + 2|x+1|=4

2) |5-2x|+|x+3|=2-3x

3) |5-x|+|x+1|=10

4) |4-x|+|x-2|=2

5) |x-2|-|5+x|=3

6) |-x+2|=2x+1

7) |x^2-1|=5-x

8) |x^2+x|+3x-5=0

9) x^2+|x-2|-10=0

10) |x^2-4x|=5

|t| = t, если t >=0, и - t, если t < = 0.

1) |x - 3| + 2|x + 1| = 4

* Если x < - 1, то x - 3 4, на этом промежутке корней нет.

* Если x > 3, то x + 1 > 4, |x - 3| + 2|x + 1| > 2 * 4 > 4, на этом промежутка корней тоже нет.

* Если - 1 < = x < = 3, то x - 3 = 0, и можно раскрыть модули:

- (x - 3) + 2 (x + 1) = 4

-x + 3 + 2x + 2 = 4

x + 5 = 4

x = - 1 - корень попадает в отрезок [-1, 3], подходит.

Ответ. x = - 1.

2) |5 - 2x| + |x + 3| = 2 - 3x

В левой части стоит сумма модулей - величина неотрицательная, значит то, что стоит в правой части, тоже неотрицательно; 2 - 3x > = 0, x = 5 - 2 * 2/3 > 0, можно один модуль убрать:

5 - 2x + |x + 3| = 2 - 3x

|x + 3| = - 3 - x

|x + 3| = - (x + 3)

Это выполнено, если x + 3 < = 0, x < = - 3.

Ответ. x < = - 3.

3) |5 - x| + |x + 1| = 10

Заметим, что если x - корень уравнения, то и 4 - x - тоже корень.

Тогда все корни симметричны относительно x = 2. Будем решать при x > = 2, а всё остальное найдём из симметрии.

* 2 = 0.

5 - x + x + 1 = 10

6 = 10 - корней нет

* x > 5: 5 - x 0

x - 5 + x + 1 = 10

2x - 4 = 10

2x = 14

x = 7 - попадает в нужный промежуток, корень.

Второй корень, симметричный относительно 2: x = 4 - 7 = - 3.

Ответ: - 3, 7.

4) |4 - x| + |x - 2| = 2

Неравенство треугольника: |a| + |b| > = |a + b|, равенство достигается, если a, b одного знака, иначе говоря, если ab > = 0.

|4 - x| + |x - 2| > = |4 - x + x - 2| = 2

(4 - x) (x - 2) > = 0

2 < = x < = 4 - ответ

5) |x - 2| - |5 + x| = 3

* x < - 5: x - 2 < 0, 5 + x < 0

2 - x + x + 5 = 3

8 = 3 - неверно, корней нет

* x > 2: x - 2 > 0, x + 5 > 0

x - 2 - x - 5 = 3

-7 = 3 - неверно. корней нет

* - 5 < = x < = 2: x - 2 = 0

2 - x - x - 5 = 3

-3 - 2x = 3

2x = - 6

x = - 3 - попадает в промежуток, подходит.

Ответ. - 3.

6) |-x + 2| = 2x + 1

-x + 2 = 2x + 1 или x - 2 = 2x + 1

3x = 1 или x = - 3

x = 1/3 или x = - 3.

Проверка:

x = 1/3: |-1/3 + 2| = 2/3 + 1, 1 2/3 = 1 2/3, верно.

x = - 3: | ... | = 2 * (-3) + 1 = - 5 < 0, так не бывает.

Ответ. 1/3

7) |x^2 - 1| = 5 - x

Левая часть неотрицательна, поэтому и правая тоже неотрицательна, 5 - x > = 0, x < = 5. При таких x обе части уравнения неотрицательны, и можно возвести в квадрат:

|x^2 - 1|^2 = (5 - x) ^2

(x^2 - 1) ^2 - (5 - x) ^2 = 0

(x^2 - 1 - 5 + x) (x^2 - 1 + 5 - x) = 0

(x^2 + x - 6) (x^2 - x + 4) = 0

(x + 3) (x - 2) = 0 (вторая скобка корней не имеет)

x = - 3 или x = 2.

Ответ. - 3, 2.

8) |x^2 + x| + 3x - 5 = 0

|x^2 + x| = 5 - 3x

x^2 + x = 5 - 3x или x^2 + x = 3x - 5

x^2 + 4x - 5 = 0 или x^2 - 2x + 5 = 0

(x + 2) ^2 = 9 или (x - 1) ^2 = - 4 - второе корней не имеет

x = - 2 + - 3

x = - 5 или x = 1

Проверка.

x = - 5: |x^2 + x| + 3x - 5 = |25 - 5| - 15 - 5 = 0 - ok.

x = 1: |x^2 + x| + 3x - 5 = |1 + 1| + 3 - 5 = 0 - ok.

Ответ. - 5, 1.

9) x^2 + |x - 2| - 10 = 0

|x - 2| = 10 - x^2 > = 0, x ∈ [-√10, √10].

* √10 < = x < 2: x - 2 < 0, раскрываем модуль:

x^2 - x + 2 - 10 = 0

x^2 - x - 8 = 0

x^2 - x + 1/4 = 8 1/4 = 33/4

(x - 1/2) ^2 = 33/4 = (√33 / 2) ^2

x = (1 + - √33) / 2

Корень со знаком "+": (1 + √33) / 2 > (1 + 5) / 2 > 2, не подходит.

Корень со знаком "-": он отрицательный, кроме того, (1 - √33) / 2 > (1 - 6) / 2 > - 3 > - √10, подходит.

* 2 < = x = 0.

x^2 + x - 2 - 10 = 0

x^2 + x - 12 = 0

x = - 4 или x = 3.

В отрезок [2, √10] попадает только x = 3.

Ответ. (1 - √33) / 2, 3.

10) |x^2 - 4x| = 5

x^2 - 4x = + - 5

x^2 - 4x + 4 = 4 + - 5

(x - 2) ^2 = 9 или - 1 (во втором случае корней нет)

(x - 2) ^2 = 3^2

x = 2 + - 3

x = - 1 или x = 5.

Ответ. - 1, 5