Задать вопрос
22 марта, 07:52

Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. Если предел последовательности равен a, укажите в ответе величину ⌊2a⌋, где ⌊x⌋ - целая часть числа xx (наибольшее целое число, не превосходящее x). Если последовательность не сходится, укажите в ответе - 1.

+5
Ответы (1)
  1. С
    22 марта, 09:14
    0
    Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2; 2].

    x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;

    тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1 + (1/x_n) ≤5/3<2⇒3/2≤x_ (n+1) ≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.

    Далее, оценим разность между соседними членами последовательности:

    |x_ (n+1) - x_n|=|1 + (1/x_n) - 1 - (1/x_ (n-1)) |=|x_ (n-1) - x_n| / (x_n·x_ (n-1)) ≤

    |x_ (n-1) - x_n| / (3/2) ^2

    Отсюда следует сходимость последовательности.

    Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_ (n+1) = 1 + (1/x_n) :

    A=1 + (1/A) ; A^2-A-1=0; A = (1+√5) / 2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0

    [2A]=[1+√5]=3

    Ответ: 3
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. Если предел последовательности равен a, укажите в ...» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы
Похожие вопросы по алгебре
Найдите предел последовательности xn=1 / (n+1) ⋅cosπ/2n. В ответе укажите квадрат предела последовательности. Если последовательность не сходится, то укажите в ответе 5.
Ответы (1)
поставтье в соотвествие каждой последовательности (левый столбец) верное утверждение (правый столбец) А) Последовательность натуральных нечетных чисел Б) последовательность чисел, обратных натуральным числам В) последовательность натуральных
Ответы (1)
1) запишите величину 648 миллионов квадратных метров в стандартном виде 2) запишите величину 575000 миллиардов лет в стандартном виде 3) запишите величину 33500 миллиардов квадратных метров в стандартном виде 4) запишите величину 907000 миллионов
Ответы (1)
Определите истинность следующих утверждений: а) Если целоее число а делится на 7, то число 3 а делится на 7 б) Если целое число b делится на 5, то число 4b делится на 20 в) Если целое число 3 с делится на 8, то число с делится на 8 г) Если целое
Ответы (1)
Укажите наибольшее целое число, превосходящее 4 корня из 2-ух.
Ответы (1)
Войти
Задать вопрос