Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа равна

65, а разность квадратов второй и третьй цифр этого числа равна 27. Сумма этого числа и числа 2727 равна числу, записанному циф-

рами исходного числа, но в обратном порядке. Найдите число.

Question

Алгебра

Зара

15 октября, 15:56

Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа равна

65, а разность квадратов второй и третьй цифр этого числа равна 27. Сумма этого числа и числа 2727 равна числу, записанному циф-

рами исходного числа, но в обратном порядке. Найдите число.

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Толя · Answer 1

x - искомое четырехзначное число

x = 1000a+100b+10c+d, а - число тысяч, b - число сотен, с - число десятков, d - число единиц (0
a и d - крайние числа = > a^2+d^2=65

b и с - вторая и третья цифры = > b^2-c^2=27

Решим первое уравнение, учитывая, что a и d - натуральные числа: (1; 8) ; (8; 1) ; (4; 7) ; (7; 4)

Второе уравнение можно расписать так: (b-c) (b+c) = 3^3. Это уравнение можно расписать как совокупность из четырех систем уравнений (учитывая, что (b-с) и (b+с) - натуральные числа, так как b и с - натуральные) : 1) b-c=1 и b+c=3^3=27; 2) b-c=3 и b+c=3^2=9; 3) b-c=3^2=9 и b+c=3; 4) b-c=3^3=27 b b+c=1. Решая первую систему, получаем (14; 13) - это не удовлетворяет условию 0
Соединяя числа 6 и 3 и числа, полученные при решении уравнения a^2+d^2=65, получаем варианты искомого четырехзначного числа: 1638, 8631, 4637, 7634. Прибавляя к каждому числу 2727, убеждаемся, что искомое число - 4637 (так как 4637+2727=7364, то есть записанное искомое число в обратном порядке)

Ответ: 4637