Длины сторон треугольника равны 4 и 5, а угол между ними 30 градусов. В этот угол вписали окружность, центр которой находится на третьей стороне треугольника. Найдите радиус этой окружности.

Обозначим треугольник АВС. АВ=4, ВС=5. О центр окружности на АС. Соединим точки О и В. Из точки О проведём перпендикуляры (радиусы) ОМ на АВ и ОК на ВС. (ОК на продолжении АВ). Площадь треугольника АВС равна S авс=1/2*АВ*ВС*sin30=1/2*4*5*1/2=5. Площадь этого треугольника равна сумме площадей треугольников АВО и СВО. То есть Sавс=1/2 АВ*ОМ+1/2 ВС*ОК, или 5=1/2*4*R+1/2*5*R. 5=4,5R. То есть R=10/9.