Найдите все значения, при каждом из которых уравнение

имеет более одного корня.

8x^6+2x^2 = (3x+5) ^3+3x+5a

2x^2-3x+5a=0

D = 9+40a

D>0 (т. к. решений должно быть больше 1-го) = > 9+40a>0

a> - 9/40

Уравнение здесь имеет вид u3+u=v3+v, где u=2x2, v=3x+5a. От него можно перейти к равносильному равенству u=v по следующей причине. Функция f (u) = u3+u имеет производную f′ (u) = 3u2+1, которая всюду положительна. Поэтому f (u) строго монотонно возрастает на всей области определения. Поэтому её значения в различных точках не могут совпадать. Таким образом, мы приходим к равносильному условию u=v, а это квадратное уравнение 2x2-3x-5a=0. Находим дискриминант, и пишем, что он положителен: в этом и только в этом случае уравнение будет иметь более одного корня.