Решить диф. ур y''-3y'=e^x

Положим y'=z, тогда получаем линейное уравнение 1 порядка:

z'-3z-eˣ=0. Положим z (x) = u (x) * v (x), тогда уравнение примет вид

u'v+uv'-3uv-eˣ=0, v (u'-3u) + uv'-eˣ=0. Пусть u'-3u=0, тогда u'=du/dx=3u,

du/u=3dx, ∫du/u=3*∫dx, ln u=3x, u=e^ (3x), e^ (3x) * v'=e^x, v'=dv/dx=e^ (-2x), dv=e^ (-2x) * dx, v=-1/2*e^ (-2x) + C1, z=e^ (3x) * [-1/2*e^ (-2x) + C1]=

-1/2*e^x+C1*e^ (3x). Так как z=y', то y=∫z (x) * dx=-1/2*∫e^x*dx+C1*∫e^ (3x) * dx

=-1/2*e^x+C1/3*e^ (3x) + C2. Ответ: y=-1/2*e^x+C1/3*e^ (3x) + C2.