Объясните как решать задачи математической индукции

Метод математической индукции состоит в следующем: должна быть сформированна некая цепочка утверждений (Утверждение1, Утверждение2, ...)

Пусть мы умеем доказывать, что:

1. Утверждение1 - истинно. (это - база индукции)

2. Из истинности любого из утверждений цепочки следует истинность следующего утверждения, или иначе говоря, из того что Утверждение (k) - истинно, следует, что Утверждение (k+1) также истинно (это - индукционный шаг)

Теперь сопоставим пункты 1 и 2: согласно п. 1 Утверждение1 истинно, но тогда согласно п. 2 Утверждение2 также истинно, но тогда согласно п. 2 Утверждение3 тоже истинно и т. д., а значит истинны все утверждения цепочки.

Пример:

Доказать, что 1+3 + ... + (2n-1) = n^2.

Одно из возм. доказательств - с помощью ММИ:

1. База индукции: при n=1: 1=1^2 - верно. (Это то самое Утверждение1) База доказана.

2. Шаг индукции: Пусть равенство верно при n=k (Утверждениеk). Докажем, что равенство верно и при n=k+1 (Утверждение (k+1), k - произвольное натуральное число) :

Т. к. мы предположили, что 1+3 + ... + (2k-1) = k^2, то 1+3 + ... (2k-1) + (2 (k+1) - 1) = k^2+2k+1 = (k+1) ^2. Шаг индукции доказан.

Следовательно, равенство доказано при всех натуральных n с помощью ММИ