При каких значениях х и у значения примера x^{2} + 2 ху + 2 у^{2} - 6 у + 9 есть наименьшим?

X^2+2xy+2y^2-6y+9 = x^2+2xy+y^2+y^2-6y+9 = (x+y) ^2 + (y-3) ^2.

Очевидно, что это выражение неотрицательное, так как состоит из суммы квадратов. Оно может принимать наименьшее значение 0, если выполняются условия:

x+y=0,

y-3=0.

Отсюда y=3, x=-y=-3.

Ответ: (-3; 3).