При каких значениях а, уравнение имеет только целые корни. Аналитически.

1) При a = - 1/2 уравнение имеет вид

(1/2) х - (5/2) = 0

х=5 - целый корень.

2) При а ≠ (-1/2) решаем квадратное уравнение

(2a+1) x^2 - аx + a-2 = 0

D = (-а) ² - 4· (2 а+1) (а-2) = - 7a²+12 а+8

Если D≥0 уравнение имеет корни

- 7a²+12 а+8 ≥0

-7 (a-a₁) (a-a₂) ≥0 или (a-a₁) (a-a₂) ≤0

при a₁≤a≤a₂,

где а₁ = (12-√368) / 14 = (6-√92) / 7≈-0,51; а₂ = (12+√368) / 14 = (6+√92) / 7≈2,22 уравнение имеет корни

x₁ = (а - √ (- 7a²+12 а+8)) / (4a+2)

x₂ = (а + √ (- 7a²+12 а+8)) / (4a+2)

По условию оба эти корня должны быть целыми, то есть:

дискриминант не может быть числом иррациональным.

1) D = (- 7a²+12 а+8) должен быть квадратом.

Если построить график u=-7 а²+12 а+8 на (-0,51; 2,22), то u ∈ (0; 10,5) - множество значений дискриминанта.

На интервале (0; 10,5) точные квадраты:

1; 4; 9

Решаем уравнения

D=1 или - 7a²+12 а+8=1

D=4 или - 7a²+12 а+8=4

D=9 или - 7a²+12 а+8=9

Может быть можно проверить и дробно-рациональные квадраты?

D=1,21

D=1,44

и т. д.

При а = 2 дискриминант будет точным квадратом D = 4,

уравнение принимает вид

5 х²-2 х=0

x₁=0; х₂=0,4

как видим, второй корень - рациональный.

Ответ. при а=-1/2