Найти наименьшее значение функции y=|x-1|+|x-2| + ... + |x-n|, n-натуральное. Это алгебра 9 класс профиль, решать без производной. есть ответ: при четном n, n^2/4, при нечетном (n^2-1) / 4, не понимаю как получен этот ответ.

Минимум суммы двух модулей достигается тогда, когда где все модули раскрываются так, что функция превращается в константу (все иксы уничтожаются). Для этого, очевидно, один модуль должен раскрываться с плюсом, а второй с минусом.

То есть сумма модулей |x-a|+|x-b|, где a≤b имеет минимум равный b-a, когда x∈[a; b], а во всех остальных случаях |x-a|+|x-b|>b-a. Это можно обобщить и для большего числа модулей. У нас есть функция:

y=|x-1|+|x-2| + ... + |x-n|

Минимум |x-1| + |x-n| достигается при любом x ∈[1; n] и равен n-1

Минимум |x-2|+|x - (n-1) | равен n-1-2=n-3

Если мы будем так продолжать, то либо раскроем все модули и останется константа, которая и будет минимумом, либо останется один единственный модуль и минимум будет там где он равен нулю, причем этот модуль будет стоять точнехонько в серединке. Легко сообразить что первый случай будет иметь место при четных n, а второй при нечетных.

Теперь решаем. Пусть n - четное число.

Тогда минимум будет равен n-1+n-1-2+n-1-3 + ... n/2+1-n/2

Это арифметическая прогрессия в которой n/2 членов. Найдем ее сумму:

S = (n-1+1) * n/4=n²/4

Это и есть максимум функции при четных n.

Если n нечетное, то прогрессия будет выглядеть так:

n-1-1+n-1-2+n-1-3 + ... (n-1) / 2+1 - (n-1) / 2+1

В ней (n-1) / 2 членов и ее сумма S = (n+1) (n-1) / 4 = (n²-1) / 4.

Если что то непонятно, пиши - попробую пояснить.