В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты одной концентрации и 6 кг раствора этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого составляет 36%. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов?

Вспомним, что процентная концентрация или массовая доля w растворенного вещества Х в растворе - это отношение массы растворенного вещества m (Х) к массе раствора m (раствора) :

w = m (X) / m (раствор)

Она часто задается в процентах:

w = m (X) / m (раствор) * 100%

1 случай.

Масса m1 кислоты в получившемся растворе: m1 = 2 w1 + 6 w2, где w1 и w2 - массовые доли кислоты в первом (2 кг) и втором (6 кг) растворе.

Массовая доля w3 кислоты в получившемся растворе равна по условию 0,36.

И она же равна w3 = m1 / (2 + 6) = m1 / 8 = (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36

([2+6] в знаменателе - это масса получившегося раствора [2 кг+6 кг])

2 случай

Возьмем для определенности равные массы, равные 1 кг.

Масса m2 кислоты в получившемся растворе: m2 = w1 + w2

Массовая доля w4 кислоты в полученном растворе равна по условию 0,32.

И она же равна w4 = m2 / 2 = (w1 + w2) / 2 = 0.32

(2 в знаменателе - это масса получившегося раствора [1 кг + 1 кг])

Получаем систему уравнений относительно w1 и w2:

(2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36

(w1 + w2) / 2 = 0.32

2 w1 + 6 w2 = 2.88

w1 + w2 = 0.64

Из второго уравнения w1 = 0.64 - w2

Подставляем это выражение для w1 в первое уравнение:

2 (0,64 - w2) + 6 w2 = 2.88

1.28 - 2 w2 + 6 w2 = 2.88

1.28 + 4 w2 = 2.88

4 w2 = 1.6

w2 = 0.4 = 40%

Отсюда w1 = 0.64 - w2 = 0.64 - 0.4 = 0.24 = 24%

Ответ: концентрация первого раствора - 24%, второго раствора - 40%

Проверка:

(2*0,24 + 6*0,4) / 8 = 0,36 = 36%

0,24 + 0,4 / 2 = 0,32 = 32%

Примечание.

Во втором случае можно брать не по одному килограмму, а по х килограммов раствора. Но это дела не меняет:

m2 = x w1 + x w2

w4 = m2 / (x + x) = (x w1 + x w2) / 2x = x (w1 + w2) / 2x = (w1 + w2) / 2

(х + х) - это масса получившегося раствора.

Как видим, х сокращается, и получаем тот же результат:

w4 = (w1 + w2) / 2