Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x^2) + 1 и касательными к ней, проведёнными из точки (0; - 3)

F (x) = х² + 1

f' (x) = 2 х

уравнение касательной в точке х = а: у = f (а) + f' (а) · (х - а)

f (а) = а² + 1

f' (а) = 2 а

у = а² + 1 + 2 а· (х - а)

у = - а² + 1 + 2 ах

найдём а, подставив в уравнение касательной координаты точки А:

х = 0 и у = - 3

-3 = - а² + 1 + 2 а·0

а² = 4

а1 = - 2 а2 = 2

Назовём точки касания К1 и К2

абсциссы этих точек мы нашли, это - 2 и 2. Найдём ординату из уравнения

f (-2) = (-2) ² + 1 = 5 f (2) = 2² + 1 = 5

Итак, точка К1 имеет координаты К1 (-2; 5), точка К2 (2; 5)

Точки А, К1 и К2 образуют равнобедренный треугольник (АК1 = АК2).

Его основание К1 К2 равно 4 (расстояние между точками К1 и К2 по горизонтали: 2 - (-2) = 4), а высота равна 8 (расстояние между точками А и К1 (К2 по вертикали 5 - (-3) = 8)

Площадь треугольника К1 АК2 = 0,5 · 4 · 8 = 16