Доказать что разность между двумя трехзначными числами одно из которых записано теми же цифрами, но в обратном порядке, кратное 9

Трехзначное число, записанное цифрами а в с

это 100 а+10 в+с

трехзначное число, записанное с в а

это 100 с + 10 в + а

Разность

(100 а+10 в+с) - (100 с + 10 в + а) = 99 а-99 с=99 (а-с) кратно 9 так как 99 кратно 9

Пусть авс - трёхзначное число, а сва - число записанное те ми же цифрами, но в обратном порядке. Для удобства решения задачи, запишем разложение по разрядам данных чисел.

Итак, авс=100 а+10 в+с

сва=100 с+10 в+а

Найдём разность данных чисел:

авс-сва = (100 а+10 в+с) - (100 с+10 в+а) = 100 а+10 в+с-100 с-10 в-а=

= 100 а-100 с-а+с=100 (а-с) - (а-с) = (а-с) * (100-1) = (а-с) * 99 = (а-с) * 9*11

Видно, что разность данных трёхзначных чисел кратна 9, т. к. она равна произведению множителей, один из которых равен 9.

Что и требовалось доказать