Найдите все значения параметра c, при которых график функции лежит выше прямой y=2.

График параболы у = сх² - 2 сх + 3 лежит выше графика прямой у=2, если ветви параболы направлены вверх (а тогда с > 0), и дискриминант выражения сх² - 2 сх + 3 = 2 отрицательный, т. е. это уравнение не имеет корней (т. е. парабола и прямая не пересекаются) :

сх² - 2 сх + 3 = 2

сх² - 2 сх + 1 = 0

D = 4c² - 4c < 0

c (с - 1) < 0

получаем 0 < с < 1

Ответ: c∈ (0; 1)

Найдем координаты вершины параболы x=-b/2a

х=2 с/2c=1 y=c-2c+3=3-c

Вершина в точке (1; 3-с)

Если график лежит выше прямой у=2, то

3-с>2⇒c<1

Ветви направлены вверх⇒с>0

D<0⇒4c²-12c=4c (c-3) <0

c=0 c=3 0
Значит с∈ (0; 1)