Докажите, что выражение x в квадрате - 4x+9 при любых значениях x принимает положительные значения

1 способ (выделением неполного квадрата) :

y=x²-4x+9

Выделяем неполный квадрат:

y=x²-4x+9 = (х²-4 х+4) - 4+9 = (х-2) ²+5

Далее рассуждаем так:

(х-2) ²≥0 при любых х∈ (-∞; +∞) и 5 > 0. Следовательно, (х-2) ²+5 > 0

Значит, у=x²-4x+9 > 0

Что и требовалось доказать

2 способ (основан на геометрических представления) :

Докажем, что х²-4 х+9>0

1) Находим дискриминант квадратичной функции:

D = (-4) ²-4*1*9=16-36=-20 нет точек пересечения с осью Ох

2) Графиком функции у=х²-4 х+9 является парабола, ветви которой направлены

вверх, т. к. а=1 > 0

Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ох

Это означает, что данная функция принимает только положительные значения.

Что и требовалось доказать.