Найдите сумму всех значений k, при каждом из которых корни уравнения 7x^ 2 + (5k^2-8k-13) x-k^4=0 являются противоположными числами

Решение:

Задание можно решить по теореме Виета:

х1+х2=-р

х1*х2=q

И кроме того должно соблюдаться условие:

х1=-х2

Зная это равенство можно подставить вместо х1, х2, тогда:

-х2+х2=-р или: 0=-р

-х2*х2=q или - х²=q

Подставим значения (р) и (q) :

- (5k²-8k-13) = 0

-k^4=-x^2

Решим первое уравнение:

-5k²+8k+13=0 Умножим уравнение на (-1)

5k²-8k-13=0

k1,2 = (8+-D) / 2*5

D=√ (64-4*5*-13) = √ (64+260) = √324=18

k1,2 = (8+-18) / 10

k1 = (8+18) / 10=26/10=2,6

k2 = (8-18) / 10=-10/10=-1

Подставим значения (k) в выражение: - k^4=-x^2, но прежде умножим левую и правую часть этого выражения на (-1) :

k^4=x^2

2,6^4=x^2 отсюда:

х1,2=+-2,6²

х1=6,76

х2=-6,76

(-1) ^4=x^2

1=x^2

x3,4=+-√1

x3=1

x4=-1

Значения всех корней вычислять, как видно из условия задачи необязательно, необходимо найти сумму всех значений k

Сумма значений k равна:

2,6 + (-1) = 1,6

Ответ: 1,6