Есть только два двузначных числа, каждое из которых равно неполному квадрату разности своих цифр. Найдите меньшее число, если известно, что оно на 11 меньше другого.

Варианты:

- последняя цифра меньшего числа меньше 9.

Меньшее число записывается цифрами a, b

Большее число записывается цифрами (a + 1), (b + 1)

10a + b = a^2 - ab + b^2

10a + b + 11 = (a + 1) ^2 - (a + 1) (b + 1) + (b + 1) ^2

Раскроем скобки в последнем равенстве:

10a + b + 11 = a^2 + 2a + 1 - ab - a - b - 1 + b^2 + 2b + 1

10a + b + 11 = (a^2 - ab + b^2) + a + b + 1

Сокращаем равные слагаемые.

11 = a + b + 1

a + b = 10

a = 10 - b < - подставляем в какое-нибудь уравнение

10 (10 - b) + b = (10 - b) ^2 - b (10 - b) + b^2

100 - 9b = 100 - 20b + b^2 - 10b + b^2 + b^2

3b^2 - 21b = 0

3b (b - 7) = 0

Если b = 0, то a = 10 - не цифра

Если b = 7, то a = 3.

- последняя цифра меньшего числа 9. Тогда большее число имеет вид a0.

10a = a^2 - нет целых решений при 1 < = a < = 9.

Ответ. 37.