По кругу записано 2003 натуральных числа докажите что найдутся 2 соседних числа сумма которых четна

Предположим что нет такой четной суммы. Тогда возьмем число x оно допустим четное тогда его сосед справа нечетный. С лева тоже стоит такая пара "нечетн-четный"

и вот так весь круг."неч-чет-неч-чет ... " но 2003 число нечетное и неделится на 2 (пары) значит найдутся два числа рядом стоящие либо оба четные либо оба нечетные. А раз они такие их сумма четна.

Два соседних натуральных числа n + (n+1) = 2n+1 - дают всегда в сумме нечетное число. Поскольку по кругу написано нечетное количество натуральных чисел, всегда найдутся где-то рядом два нечетных числа (2k+1) + (2h+1) = 2 (k+h+1), сумма которых даст четное число.