исследовать на экстремум функцию y=x^3+3x^2-8

y = x³ + 3x² - 8

найдём производную

y' = 3x² + 6x

Приравняем производную нулю

3x² + 6x = 0

3 х (х + 2) = 0

х₁ = 0

х₂ = - 2

Исследуем знаки производной y' = 3x² + 6x.

Поскольку график производной - квадратичная парабола веточками вверх, то знаки её будут такими:

при х∈ (-∞; - 2] y' > 0 и функция у возрастает

при х∈[-2; 0] y' < 0 и функция у убывает

при х∈ (0; + ∞] y' > 0 и функция у возрастает

В точке х₁ = 0 производная y' меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

уmin = y (0) = 0³ + 3·0² - 8 = - 8

В точке х₂ = - 2 производная y' меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.

уmах = y (-2) = (-2) ³ + 3· (-2) ² - 8 = - 8 + 12 - 8 = - 4