Отношение длины основания правильной треугольной призмы АВС А1 В1 С1 к высоте призмы = 0,75. Через вершины А и В1 и середину М ребра СС1 проведена плоскость. Найти синус угла между ребром АС и плоскостью АМВ1.

Если продолжить сторону В1 М до пересечения со стороной ВС в в точке, например К, то плоскость АВ1 М - это все равно что плоскость АВ1 К.

В треугольнике В В1 К опустить перпендикуляр из точки С, получим точку Р. Это проекция точки С на плоскость АВ1 М или на АВ1 К.

Советую нарисовать отдельно этот треугольник и провести в нем среднюю линию МС и высоту СР. Отрезок СК=а. Потому что МС - средняя линия. и значит ВС=СК.

Найдем отрезок СР из треугольника МСК.

МС = H/2. По условию а:H = 0,75, т. е H=4 а/3, МС = H/2=2 а/3

По теореме Пифагора:

МК² = (2 а/3) ²+а², МК = а√13/3

Выразим площадь прямоугольного треугольника двумя способами как половина произведения катетов и как половина произведения основания МК на высоту СР.

Приравняем и найдем отсюда СР.

СР = 2 а/√13

синус искомого угла, это синус угла РАС и он равен отношению противолежащего катета СР к гипотенузе АС. (Угол АРС - прямой)

ответ СР: АС = 2/√13