Найдите все возможные варианты x и y, если ху+х+y=1000

Всех возможных вариантов бесконечное количество. Если решать только для целых, то:

xy+x+y=1000

x (y+1) = 1000-y

x = (1000-y) / (y+1), Очевидно, что если прибавить единицу и вычесть, то ничего не изменится.

x = (1000-y) / (y+1) + 1-1

x=1001 / (y+1) - 1.

Т. к. x-целое число, (-1) - целое, значит и 1001 / (y+1) - целое.

Делители 1001: 1,7,11,13, 77,91,143,1001, - 1,-7,-11,-13, - 77,-91,-143,-1001, значит y+1 равно одному из этих чисел.

Значит, чтобы получить y-надо вычесть из данных значений 1, а x получить по выведенной выше формуле.

Целочисленными решениями уравнения являются пары (x; y) : (1000; 0), (142; 6), (90; 10), (76; 12), (12; 76), (10; 90), (6; 142), (0; 1000), (-2; -1002), (-8; -144), (-12; -92), (-78; -14), (-92; -1), (-144; -8), (-1002; -2)