Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями.

y=√x

y=x^2

Найдем точки пересечения этих графиков

√x=x^2

x=0

x=1

при x=0 y=0

при x=1 y=1

то есть интегрировать будем от 0 до 1

Воспользуемся формулой

v=pi * ∫y^2dx от a до b

Найдем объем тела, образаваного вращением вокруг оси линии x^2=y

v1=pi * ∫xdx от 0 до 1 = pi * (x^2/2 от 0 до 1) = pi/2

Найдем объем тела, образоаваного вращением вокруг оси линии x=y^2

v2=pi * ∫x^4dx от 0 до 1 = pi * (x^5/5 от 0 до 1) = pi/5

Искомый объем равен

v=v1-v2=pi/2-pi/5=3pi/10