Как решать двойные неравенства объяснить подробно!

Двойные неравенства. 2 способа решения

Двойные неравенства - неравенства, в записи которых используется два знака сравнения.

Например:

5<11<17

-2≤3x+5≤2

2x-5≤3x+7≤8x

Двойное неравенство по своей сути - это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы.

Например:

-2≤3x+5≤2⇔{-2≤3x+53x+5≤2

2x-5≤3x+7≤8x⇔{2x-5≤3x+73x+7≤8x

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду [число]


.

Пример: Решите двойное неравенство:

-2≤3x+5≤2

|-5

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям - числа.

Для того чтобы "оголить" икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем 5

из всего неравенства.

-7≤3x≤-3

|:3

Теперь нам мешает 3

. Поделим все три части неравенства на 3

.

-

73≤x≤-1

Готово, наш икс "голый". Можно записывать ответ.

Ответ: [-73; -1]

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

2x-5<3x+7≤8x

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные - значит переходим к системе.

{2x-5<3x+73x+7≤8x

Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов - в правую.

{2x-3x<7+53x-8x≤-7

Приводим подобные слагаемые

{-x<12-5x≤-7

"Оголим" иксы, поделив верхнее неравенство на (-1)

, нижнее на (-5)

. Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

{x>-12x≥75

Отметим на числовой оси оба решения

Решение двойного неравенства на оси

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т. е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Двойное неравенство это например 5 больше 3 но меньше 9. Так оно читается и начинаем читать неравенство с середины (если в неравенстве три числа). А пишется так 3<5<9