Можно ли расположить по кругу числа 1,2 ... 8. Так чтобы сумма любых 3 рядом стоящих чисел была больше 13?

Рассмотрим тройки подряд стоящих чисел. Каждое число войдет ровно в 3 такие тройки, и в каждой тройке сумма чисел должна быть больше 13, а значит не меньше 14. Всего троек будет 8, тогда общая сумма чисел в них будет не меньше, чем 14 * 8 = 112. В эту сумму каждое из выписанных чисел входит по 3 раза. Тогда сумма чисел от 1 до 8 равна числу, которое не меньше, чем 112/3 > 37. Но 1 + 2 + ... + 8=8*9/2 = 36. Противоречие. Значит указанной в условии расстановки не существует

Заменим числа буквами, получим большую систему

а+в+с<13

в+с+д<13

с+д+е<13

д+е+и<13

е+и+к<13

и+к+л<13

к+л+а<13

л+а+в<13

Сложим все позиции

3 (а+в+с+д+е+и+к+л) <8*13

8*13=104, а 104 на 3 не делится без остатка, получаем 34, (6)

Значит наибольшее значение

а+в+с+д+е+и+к+л=34

1+2+3+4+5+6+7+8=36

Значит такого быть не может