Шах разбил свой квадратный одноэтажный дворец на 64 одинаковые квадратные комнаты, разделил комнаты на семь квартир (проделав двери в некоторых перегородках между комнатами) и в каждой квартире поселил по жене. Жены могут ходить по всем комнатам своей квартиры, не заходя к другим. Какое наименьшее число дверей пришлось проделать во внутренних стенах?

Попробовал разные расположения, и вот что получается - минимальное число дверей получается в вытянутой в одну линию квартире (такой коридор из комнат, возможно изгибающийся).

В такой квартире нужно сделать по одной двери в каждой комнате, чтобы попасть в следующую комнату, и только в последней комнате не надо делать, т. к. мы уже её соединили с предыдущей. Получается, для такой квартиры число дверей (Д) равно числу комнат (К) минус один:

Д (1) = К - 1 - число дверей для первой квартиры

А для семи таких квартир, число дверей будет на семь меньше числа комнат. А так как суммарное число комнат во всех квартирах равно 64, то число дверей будет равно:

Д (общ) = Д (1) + Д (2) + Д (3) + Д (4) + Д (5) + Д (6) + Д (7) =

= К (1) - 1 + К (2) - 1 + К (3) - 1 + К (4) - 1 + К (5) - 1 + К (6) - 1 + К (7) - 1 =

= ΣК - 7 = 64 - 7 = 57 дверей

Это и есть минимальное число дверей для данной задачи.

При этом, можно сделать шесть квартир по восемь комнат, а седьмую - 16 комнат (см. рис. 1), или шесть квартир по одной комнате (см. рис. 2), а седьмую - 58 комнат, всё равно общее число дверей будет равно 57.

Ответ: 57 дверей.

P. S. наружные двери не рисовал, т. к. о них в задаче не говорится.