Сколькими способами из чисел 1, 2, ...9, можно выбрать несколько чисел (возможно, ни одного) так, чтобы среди выбранных не было трёх подряд идущих чисел?

Сколькими способами из чисел 1, 2, ..., 10 можно выбрать несколько чисел (возможно, ни одного) так, чтобы среди выбранных не было трёх подряд идущих чисел?

Несколько (больше пяти) шариков выложены в ряд. Каждый окрашен в какой-то цвет. Оказалось, что среди любых трёх шариков, идущих подряд, хотя бы два - красные, а среди любых шести шариков, идущих подряд, хотя бы два - синие.

Можно ли записать в ряд семь чисел так, чтобы сумма любых трех подряд идущих чисел была положительна, а сумма любых пяти подряд идущих чисел отрицательна? а шестнадцать чисел?

Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо чёрные, либо белые колпаки. оказалось что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих не поровну.

Несколько мудрецов построились в колонну. На всех либо чёрные либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с чёрными колпаком, а среди любых 12 подряд идущих-не поровну.