Найти объём правильной шестиугольной пирамиды, если плоский угол при вершине пирамиды равен 45 градусов, а сторона основания равна 2

Дана правильная шестиугольная пирамида с плоским углом при вершине пирамиды 45 градусов и стороной основания а = 2.

Пусть боковое ребро рано L.

По теореме косинусов:

2 = √ (L² + L² - 2*L*L*cos45°) = √ (2L² - L²√2) = x (√ (2 - √2)).

Отсюда боковое ребро равно: L = 2 / (√ (2 - √2)).

Проведём осевое сечение через боковые рёбра.

В сечении - равнобедренный треугольник, высота Н его равна высоте пирамиды. Основание равно 2 стороны а.

H = √ (L² - a²) = √ ((4 / (2 - √2)) - 4) = 2√ (√2 - 1) / (√ (2 - √2).

Площадь основания So = 3a²√3/2 = 6√3.

Объём V пирамиды равен:

V = (1/3) SoH = (1/3) * 6√3 * (2√ (√2 - 1) / (√ (2 - √2)) = 4√3 * (√ (√2 - 1) / (√ (2 - √2)).

Если выполнить действия полученной формулы, то получим:

V ≈ 5,82590126.