Миша вышел из дома на автобусную станцию. За первый час он прошёл 1,5 км, после этого посчитал и понял, что опоздает на 20 минут, если продолжит движение с той же скоростью. Поэтому остальной путь он двигался 2 км/ч и пришёл на станцию за 23 мин до автобуса. Какое расстояние от дома до станции.

S - путь от дома до станции

s=1.5 км - путь, который миша успел пройти за время t (1) = 1 ч

v (1) = 1.5 км/ч - скорость Миши за первый час пути (найдена по формуле v (1) = s/t (1))

Тогда время за которое Миша прошёл бы оставшуюся часть пути не меняя скорости будет равно: t (2) = (S-s) / v (1)

Отсюда получим время отправки автобуса, учитывая опоздание миши (t (3) = 20/60) :

t=t (1) + t (2) - t (3).

Теперь рассмотрим второй случай, когда миша приходит на станцию раньше, чем нужно (t (4) = 23/60) :

Время за которое он пройдет оставшийся путь со скоростью v (2) = 2 км/ч:

t (2') = (S-s) / v (2)

Отсюда t=t (1) + t (4) + t (2')

Приравниваем уравнения отправки автобуса:

t (1) + t (4) + t (2') = t (1) + t (2) - t (3) ;

t (4) + t (2') = t (2) - t (3) ;

t (4) + (S-s) / v (2) = (S-s) / v (1) - t (3)

(S-s) / v (1) - (S-s) / v (2) = t (3) + t (4)

((S-s) (v (2) - v (1)) / v (1) v (2) = t (3) + t (4)

S=v (1) v (2) (t (3) + t (4)) / (v (2) - v (1)) + s

S = (1.5*2*43) / (60*0.5) + 1.5=5.8 км

Пусть х расстояние от дома до станции, тогда время за которое он дошел бы до станции, не меняя скорость х: 1,5, т. к. 1,5 км он прошел за 1 час. А время которое он реально затратил на весь путь 1 + (х-1,5) : 2. Разница во времени составила: 20+23=43 мин = 43/60 часа. Составим уравнение:

(х: 1,5) - (1 + (х-1,5) : 2) = 43/60

х*2*60-1,5*60 (х-1,5) = 103*1,5*2

120 х-90 х+135=309

30 х=174

х=5,8 км расстояние от дома до станции.

Ответ: 5,8 км.