В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел + 1 или - 1.

На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны.

Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю.

Докажите, что

1) n - четно,

2) n делится на 4.

На каждой стороне написано либо число 1, либо - 1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно).

Если на стороне написано - 1, тогда на концах написано - 1 и + 1, всего таких сторон m.

Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано + 1, тогда всего на концах всех сторон написано m + 2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано + 1 посчитали дважды.

Значит, m + 2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.