В шар диаметром 25 вписан прямоугольный параллелепипед с основанием 12 на 20. Найти объем части шара, лежащей вне параллелепипеда.

Интересная задача.

Радиус шара 12,5 см.

Проведем 4 радиуса из центра шара к углам пар-педа в основании.

Получилась 4-угольная пирамида с прям-ком 12*20 в основании.

Высота пирамиды опускается в центр прям-ника, точку пересечения диагоналей.

Одна боковая грань - равнобедренный тр-ник с основанием a=20 и боковыми R=12,5.

Его высота, она же апофема пирамиды, равна

L=√ (R^2 - (a/2) ^2) = √ (12,5^2-10^2) = √ (156,25-100) = √ (56,25) = 7,5

Эта апофема L=7,5, половина второй стороны b/2=6 и высота пирамиды h образуют прям-ный тр-ник.

h=√ (L^2 - (b/2) ^2) = √ (7,5^2-6^2) = √ (56,25-36) = √ (20,25) = 4,5

Высота всего пар-педа вдвое больше этой высоты пирамиды:

H=2h=2*4,5=9.

А теперь переходим к объемам.

Объём шара

Vш=4/3*Π*R^3=4/3*Π * (12,5) ^3=7812,5/3*Π=15625/6*Π

Объём пар-педа

Vп=12*20*9=2160

Объём части шара, не входящей в пар-пед

V=Vш-Vп=15625*Π/6-2160~6021,23