Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 2013

Нет, не может. Чтобы доказать это пойдём от обратного. Допустим, такое число есть. 2013 делится на 3 (по признаку делимости). Если 2013 - квадрат некого числа, то это число должно делиться и на 3², то есть на 9. Получили, что 2013 должно делиться на 9, а следовательно, на 9 должна делиться и сумма его цифр, а 2013 не делится на 9. То есть мы получили противоречие, следовательно, такого числа нет.

т. к. 2013 делится на 3, то и точный квадрат должен делится на 3, но если квадрат делится на 3, то он делится и на 9, а 2013 не делится на 9, значит, не может

Ответ: не может